Propiedades de la Esperanza, Varianza y Desviacion Estandar

Esperanza

En estadística la esperanza matemática (también llamada esperanza, valor esperado, media poblacional o media) de una variable aleatoria X, es el número E(X) que formaliza la idea de valor medio de un fenómeno aleatorio.

La esperanza matemática tiene las siguientes propiedades principales:

1. E(x) al igual que la media, es un número que depende de todos los valores de la serie y de sus respectivas probabilidades, ya que todos ellos entran en su cálculo.

2. Si  X  e  Y  son variables aleatorias, entonces
     E (X + Y) = E(X) + E(Y)

3. Si “ A ” es una constante y “ X ” una variable, 
    E(Ax) = A E(x)

4. Si X e Y son variables aleatorias independientes 
    E(X.Y) = E(X) E(Y)

5. Si X₁, X₂, ......., X_e son variables aleatorias 
    E(X₁ + X₂ +.........+ X_e) = E(X₁)+ E(X₂) +.........+ E(X_e)

6. Si X₁, X₂, ......., X_t son variables aleatorias independientes
    E(X₁ + X₂ +.........+ X_t) = E(X₁) E(X₂) *.........* E(X_t)

7. La esperanza matemática es un valor que oscila en el intervalo (Mínimo X_i; máximo X_i), en donde, tiende a situarse en el     centro, para así considerarse representativa de los valores de la serie de datos.

8. Si “ X ” es variable aleatoria y “ a ” una constante , 
     E(X + a) = E(X) + a

9. Sea X una variable aleatoria , “ a ” y “ b”constantes, 

 
     E(ax + b) = aE(X) + b

Varianza

 

La varianza es la media aritmética del cuadrado de las desviaciones respecto a la media de una distribución estadística.

La varianza se representa por

Propiedades de la varianza

1 La varianza será siempre un valor positivo o cero, en el caso de que las puntuaciones sean iguales.

2 Si a todos los valores de la variable se les suma un número la varianza no varía.

3 Si todos los valores de la variable se multiplican por un número la varianza queda multiplicada por el cuadrado de dicho número.

4 Si tenemos varias distribuciones con la misma media y conocemos sus respectivas varianzas se puede calcular la varianza total.

Si todas las muestras tienen el mismo tamaño:

Si las muestras tienen distinto tamaño:

Desviacion Estandar

La desviación estándar o desviación típica es la raíz cuadrada de la varianza. 

Es decir, la raíz cuadrada de la media de los cuadrados de las puntuaciones de desviación.

Propiedades de la desviación estándar

1 La desviación estándar será siempre un valor positivo o cero, en el caso de que las puntuaciones sean iguales.

2 Si a todos los valores de la variable se les suma un número la desviación estándar no varía.

3 Si todos los valores de la variable se multiplican por un número la desviación estándar queda multiplicada por dichonúmero.

4 Si tenemos varias distribuciones con la misma media y conocemos sus respectivas desviaciones estándar se puede calcular la desviación estándar total.

Si todas las muestras tienen el mismo tamaño:

Si las muestras tienen distinto tamaño: